. Love.az

Laplas Teoremi - Wikipedia - Love.az

Ana Səhifə - Laplas Teoremi

Laplas teoremi- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

TEOREM (Laplas). n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-tərtibli D {\displaystyle D} {\displaystyle D} determinantının ixtiyari k {\displaystyle k} {\displaystyle k} sayda ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) {\displaystyle (1\leq k\leq n-1)} {\displaystyle (1\leq k\leq n-1)} sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif k {\displaystyle k} {\displaystyle k} tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

İSBATI. Tutaq ki, n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-tərtibli D {\displaystyle D} {\displaystyle D} determinantında hər hansı i 1 , i 2 , . . . , i k {\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}} {\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}} nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan k × n {\displaystyle k\times n} {\displaystyle k\times n} ölçülü matrisdən buradakı α i 1 , α i 2 , . . . , α i k {\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}} {\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}} sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif k {\displaystyle k} {\displaystyle k}-tərtibli M 1 , M 2 , . . . , M s {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş k {\displaystyle k} {\displaystyle k} dənə α i 1 , α i 2 , . . . , α i k {\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}} {\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}} nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən M 1 , M 2 , . . . , M s {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} minorlarının cəbri tamamlayıcıları A 1 , A 2 , . . . , A s {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{s}} {\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{s}} olsun. Göstərməliyik ki:

D = M 1 A 1 + M 2 A 2 + . . . + M s A s = ∑ i = 1 S M i A i {\displaystyle D=M_{1}A_{1}+M_{2}A_{2}+...+M_{s}A_{s}=\sum _{i=1}^{S}M_{i}A_{i}} {\displaystyle D=M_{1}A_{1}+M_{2}A_{2}+...+M_{s}A_{s}=\sum _{i=1}^{S}M_{i}A_{i}} (1)

M i A i {\displaystyle M_{i}A_{i}} {\displaystyle M_{i}A_{i}}-lər öz işarələri ilə verilən D {\displaystyle D} {\displaystyle D} determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı M 1 , M 2 , . . . , M s {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} {\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}} minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının n ! {\displaystyle n!} {\displaystyle n!} olduğunu göstərməliyik. M i ( i = 1 , s ¯ ) {\displaystyle M_{i}(i={\overline {1,s}})} {\displaystyle M_{i}(i={\overline {1,s}})} minorlarının hər biri k {\displaystyle k} {\displaystyle k}-tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı k ! {\displaystyle k!} {\displaystyle k!}, cəbri tamamlayıcılar isə ( n − k ) {\displaystyle (n-k)} {\displaystyle (n-k)} tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı ( n − k ) ! {\displaystyle (n-k)!} {\displaystyle (n-k)!} olur. M i A i {\displaystyle M_{i}A_{i}} {\displaystyle M_{i}A_{i}} hasilinin hər birində determinantın k ! ( n − k ) ! {\displaystyle k!(n-k)!} {\displaystyle k!(n-k)!} sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində s {\displaystyle s} {\displaystyle s} sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı s ⋅ k ! ( n − k ) ! {\displaystyle s\cdot k!(n-k)!} {\displaystyle s\cdot k!(n-k)!} dənə olmalıdır. Buradakı s {\displaystyle s} {\displaystyle s} əmsallı determinantın k {\displaystyle k} {\displaystyle k} sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən k {\displaystyle k} {\displaystyle k} tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı s = C n k = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle s=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} {\displaystyle s=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

n ! k ! ( n − k ) ! ⋅ k ! ( n − k ) ! = n ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k!(n-k)!=n!} {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k!(n-k)!=n!}

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün n ! {\displaystyle n!} {\displaystyle n!} sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

Ədəbiyyat

  • Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.
Mənbə — "https://az.wikipedia.org/wiki/?q=Laplas_teoremi&oldid=8056753"
LOVE.AZ